行列で考えると漸化式は

\[\begin{pmatrix} x_{i+2} \\ x_{i+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{i+1} \\ x_{i} \end{pmatrix}\]

となるので,

\[\begin{pmatrix} x_{n+1} \\ x_{n} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ 1 & 0 \end{pmatrix} ^n \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{0} \end{pmatrix}\]

となる.