\(1, 4a+2, 4a+3, 4a+4, 4a+5\) から \(1\) 〜 \(4\) 個選んで \(4a+2, 4a+3, 4a+4, 4a+5\) を作成することができる.

選んだ数を縦軸に, 作成する数を横軸にして作成に必要な数を表にすると以下のようになる.

  \(4a+2\) \(4a+3\) \(4a+4\) \(4a+5\)
\(1\) \(4a+2\) \(4a+3\) \(4a+4\) \(4a+5\)
\(2\) \(1, 4a+3\) \(1, 4a+2\) \(1, 4a+5\) \(1, 4a+4\)
\(3\) \(4a+3, 4a+4, 4a+5\) \(4a+2, 4a+4, 4a+5\) \(4a+2, 4a+3, 4a+5\) \(4a+2, 4a+3, 4a+4\)
\(4\) \(1, 4a+2, 4a+4, 4a+5\) \(1, 4a+3, 4a+4, 4a+5\) \(1, 4a+2, 4a+3, 4a+4\) \(1, 4a+2, 4a+3, 4a+5\)

よって, \(X=4a+2,4a+3,4a+4,4a+5\) のどれかが成立する \(a\) を探し, この \(a\) については \(N\) を \(4\) で割ったあまりの個数を適用する.

残りの部分については他の \(a\) について \(4a+2, 4a+3, 4a+4, 4a+5\) (この \(4\) つの XOR は \(0\)) を数列に加える.

これで \(X \geq 2\) については解決である.

\(X = 1\) のときは, \(\floor{N/4}\) 個については \(4a, 4a+1, 4a+2, 4a+3\) の XOR が \(0\) になるので \(a >= 2\) で埋める. 残りは \(1, 2, 3, 4, 7\) から \(1\) 〜 \(4\) 個選んで \(1\) を作成することができるので, \(N\) を 4 で割った余りを適用する.