逃亡率 \(p_1\), 通過率 \(q_1\) の門 \(1\) と逃亡率 \(p_2\), 通過率 \(q_2\) の門 \(2\) について考えると, 門 \(1\) の手前にいるときの門 \(1\) の手前に戻ってくる確率 \(p_{1,2}\) は,

\[\begin{align} p_{1,2} &= p_1 + q_1p_2q_1 + q_1p_2p_1p_2q_1 + \cdots \\ &= p_1 + q_1^2p_2 \sum_{i=1}^{\infty} (p_1p_2)^{i-1} \\ &= p_1 + \frac{q_1^2p_2}{1-p_1p_2} \end{align}\]

門 \(1\) の手前にいるときの門 \(2\) の向こう側に行く確率 \(q_{1,2}\) は,

\[\begin{align} q_{1,2} &= q_1q_2 + q_1p_2p_1q_2 + q_1p_2p_1p_2p_1q_2 + \cdots \\ &= q_1q_2 \sum_{i=1}^{\infty} (p_1p_2)^{i-1} \\ &= \frac{q_1q_2}{1-p_1p_2} \end{align}\]

となる. すなわち, 門 \(1\) と門 \(2\) は逃亡率 \(p_{1,2}\), 通過率 \(q_{1,2}\) の1つの門と考えられる.

同様にすべての門を1つの門にまとめたとき, その門の逃亡率が \(r\) である.