\(P_1, P_N\) については, 円の弧の範囲しか動きようがないので, 面積は \(0\) である.

\(P_i \ (2 \leq i \leq N-1)\) については, \(P_0\) と \(P_i\) の距離を \(Q_i\) とおくと,

\[A_i = \max(0, 2\max_{k=1}^i L_i - \sum_{k=1}^i L_i) \leq Q_i \leq B_i = \sum_{k=1}^i L_i\]

となる. これは円の内部を繰り抜いたような形となる. \(P_i\) と \(P_{N+1}\) の距離を \(R_i\) とおくと, 同様に,

\[C_i = \max(0, 2\max_{k=i+1}^{N+1} L_i - \sum_{k=i+1}^{N+1} L_i) \leq R_i \leq D_i = \sum_{k=i+1}^{N+1} L_i\]

となる. この2つの図形の共通部分を求める問題となる.

これは, 大きい円の共通部分から大小の円の共通部分を引いて小さい円の共通部分を足したものとなる.

共通部分を求めるには, 交点の \(x\) 座標を求め, 積分で求める.

\[\int \sqrt{a^2-x^2} = \frac{ x\sqrt{a^2-x^2} }{2} + \frac{a^2}{2}\sin^{-1}\frac{x}{a} + C\]

を使う.