\(\theta_a\) だけ回転移動する行列を \(R_a\) とする. \(R_b\) も同様に考える.

\(X_{11} = (x_{11}, y_{11})\) とする. \(X_{12}, X_{21}, X_{22}, X_a, X_b\) も同様に考える.

このとき, 計測した杭1の世界座標から船座標を求めると,

\[S = R_a^{-1}(X_{21}-X_a)\]

となる. また, 実際の杭の位置から船座標を求めると,

\[S = R_b^{-1}(X_{11}-X_b)\]

となる. これが一致するので,

\[R_a^{-1}(X_{21}-X_a) = R_b^{-1}(X_{11}-X_b)\]

となる. 杭2についても同様に

\[R_a^{-1}(X_{22}-X_a) = R_b^{-1}(X_{12}-X_b)\]

となる. これを解いて,

\[X_b = X_{11} - R_bR_a^{-1}(X_{21}-X_a) \\ R_bR_a^{-1}(X_{22}-X_{21})=X_{12}-X_{11}\]

となる. 下の行については \(X_{22}-X_{21}\) および \(X_{12}-X_{11}\) の偏角を求めれば \(R_b\) も求めることができる. そしてそこから \(X_b\) も求めることができる.