\(Y, X\) のそれぞれ次の素数を \(Y^{\prime}, X^{\prime}\) とする.

\(Y, X\) がともに合成数ならば, \((Y^{\prime}-1, X^{\prime}-1)\) まで移動できるので, ターン数は \((Y^{\prime}-Y, X^{\prime}-X)\) である.

\(Y, X\) のどちらかが素数ならば1ターン目は限定されるが, 最終的には \((Y^{\prime}-1, X^{\prime}-1)\) まで移動できるので, ターン数は \((Y^{\prime}-Y, X^{\prime}-X)\) である.

\(Y, X\) がともに素数ならば1ターンも移動できない.

コーナーケースとして \(Y = 2\) または \(X = 2\) のときも1ターンも移動できない.

ターン数が偶数ならば Second の勝ちであり, 奇数ならば First の勝ちとなる.

\(n\) の次の素数を探すには, \(10^5\) までの素数をあげておいて, \(n+1, n+2, \dots\) についてその平方根までの試し割りをしていく. ルジャンドル予想はある程度小さい \(n\) については成り立つことが分かっているので, 調べる数値の数は \(O(\sqrt{n})\) で収まるはずである.