\(i\) 年目の大晦日のカブトムシの数を \(A_i\) とすると, 漸化式は以下の通りである.

\[A_{i+1} = C(A_i+B)\]

これを行列で表すと,

\[\begin{pmatrix} A_{i+1} \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} C & BC \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A_i \\ 1 \end{pmatrix}\]

となるので,

\[\begin{pmatrix} A_D \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} C & BC \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix} ^D \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\]

となる. 後は行列のべき乗を繰り返し二乗法で解けばいい.