ビットごとに考える. ビットごとであれば相関はないので, 平均と分散はビットごとに計算して和を取ればいい.

\(k\) ビット目 (0-indexed) の \(A_i\), 平均, 分散をそれぞれ \(A_{ik}, \mu_k, \sigma_k^2\) とする. また, \(A_{ik}\) のうち \(0, 1\) の個数を \(c_{0k}, c_{1k}\) とする.

平均は以下のようになる.

\[\mu_k = \frac{1}{2^K} 2^k \left( 2^{K-1} \sum_{i=1}^N (A_{ik} \oplus 1) + 2^{K-1} \sum_{i=1}^N (A_{ik} \oplus 0) \right)\]

よって,

\[\begin{align} 2^K\mu_k &= 2^k 2^{K-1} (c_0 + c_1) \\ &= 2^{K+k-1} N \end{align}\]

である.

続いて分散は以下のようになる.

\[\sigma_k^2 = \frac{1}{2^K} 2^{2k} \left( 2^{K-1} \left(\sum_{i=1}^N (A_{ik} \oplus 1) - \frac{\mu_k}{2^k}\right)^2 + 2^{K-1} \left(\sum_{i=1}^N (A_{ik} \oplus 0) - \frac{\mu_k}{2^k}\right)^2 \right)\]

よって,

\[\begin{align} 4^K\sigma_k^2 &= 2^{2k-1} \left( (2^Kc_{0k} - 2^{K-1}N)^2 + (2^Kc_{1k} - 2^{K-1}\mu_k)^2 \right) \\ &= 2^{2K+2k-3} \left( (2c_{0k} - N)^2 + (2c_{1k} - N)^2 \right) \end{align}\]

となる.