\(N\) がある程度大きくなると, \(N+5/3\) に収束していく. \(N \geq 100\) ぐらいで誤差が問題にならなくなるようだ.

\(N \lt 100\) の場合は以下の方法で計算する.

出目の和の残りが \(n\) のときの期待値を \(E(n)\) とすると,

\[E(n) = \begin{cases} E(N) & n \lt 0 \\ 0 & n = 0 \\ \sum_{k=1}^6 \frac{1}{6} (E(n-k)+1) & n \gt 0 \end{cases}\]

となる. これを行列形式で表すと,

\[\begin{bmatrix} E(n) \\ E(n-1) \\ E(n-2) \\ E(n-3) \\ E(n-4) \\ E(n-5) \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} E(n-1) \\ E(n-2) \\ E(n-3) \\ E(n-4) \\ E(n-5) \\ E(n-6) \\ 1 \end{bmatrix}\]

となる. この正方行列を \(A\) として, \(x = E(N)\) とすると,

\[\begin{bmatrix} x \\ E(N-1) \\ E(N-2) \\ E(N-3) \\ E(N-4) \\ E(N-5) \\ 1 \end{bmatrix} = A^N \begin{bmatrix} 0 \\ x \\ x \\ x \\ x \\ x \\ 1 \end{bmatrix}\]

となり, これを計算すれば \(x\) の1次式ができあがるので, それを解けばいい.