高橋くんを固定して青木くんを相対的に見る.

青木くんは最初の \(T_1\) 分間は \(C_1 = B_1-A_1\) の速度で移動し, 次の \(T_2\) 分間は \(C_2 = B_2-A_2\) の速度で移動している. \(C_1\) と \(C_2\) の符号が同じ場合は \(1\) 度も出会わない. 以下 \(C_1 \gt 0, \ C_2 \lt 0\) となるように符号を反転させる. こうしても答えは変わらない.

青木くんは \(T_1\) 分後には \(P_1 = C_1 T_1\) に, さらに \(T_2\) 分後には \(P_2 = P_1 + C_2 T_2\) にいる. \(P_2 \gt 0\) ならば \(1\) 度も出会わない. また \(P_2 = 0\) なら無限回出会う.

\(T = T_1 + T_2\) 分を 1 回のサイクルとすると, 最初のサイクルでは \(1\) 度出会う. \(n\) 回目のサイクルでは, \(nT + T_1\) 分後の位置 \(P^n_1 = P_1 + (n-1)P_2\) について \(P^n_1 \gt 0\) なら \(2\) 回出会い, \(P^n_1 = 0\) なら \(1\) 回出会い, \(P^n \lt 0\) なら \(1\) 回も出会わない.

これを解くと, \(n \lt -P_1/P_2 + 1\) なら \(2\) 回出会うので, \(2\) 回出会うサイクル数は \(\ceil{-P_1/P_2} - 1\) となる. また \(1\) 回出会うサイクル数は \(P_1/P_2\) が整数となる場合に \(2\), そうでない場合に \(1\) となる.