数列の \(i\) 項目を \(a_i\) とすると,

\[a_i = 7 \times \frac{10^i-1}{9}\]

となる. フェルマーの小定理から \(p\) が \(10\) と互いに素であれば \(10^{p-1} \equiv 1 \pmod p\) となるので, \(10^{p-1}-1 \equiv 0 \pmod p\) となる. よって, \(p\) が \(3\) を素因数に含まなければ, \(a_{p-1}\) は \(p\) で割り切れる.

\(p\) が \(3\) を素因数に含む場合でも, \(10^{9p-1}\) は \(9p\) で割り切れるので, \(a_{9p-1}\) は \(p\) で割り切れる.

よって, 最初から順に \(\bmod K\) の計算していけばいい.

\(K\) が \(2\) または \(5\) を素因数にもつ場合は \(a_i\) は \(K\) で割り切れることはない.

なお, \(K = 1\) のときは特別扱いする.