マス \((i+1, j+2)\) に移動させる回数を \(x\) 回, マス \((i+2, j+2)\) に移動させる回数を \(y\) 回とすると,

\[\begin{align} x + 2y &= X \\ 2x + y &= Y \end{align}\]

となるので, これを解いて,

\[\begin{align} x &= \frac{2Y-X}{3} \\ y &= \frac{2X-Y}{3} \end{align}\]

\(x, y\) は非負整数でなければならないので, \(2Y-X \equiv 2X-Y \equiv 0 \pmod 3\), \(2Y-X \geq 0\), \(2X-Y \geq 0\) でなければならない. そうでなければ移動させる方法は \(0\) 通りである.

\(x, y\) が求まるなら, 移動させる方法は \(\combi{x+y}{x}\) 通りである.