山 \(i\) に \(2x_i\) リットルの雨が降ったとすると,

\[\begin{align} x_1 + x_2 &= A_1 \\ x_2 + x_3 &= A_2 \\ x_3 + x_4 &= A_3 \\ &\cdots \\ x_{N-1} + x_N &= A_{N-1} \\ x_N + x_1 &= A_N \end{align}\]

となる. これを解くと,

\[\begin{align} x_2 &= A_1 - x_1 \\ x_3 &= A_2 - x_2 = A_2 - A_1 + x_1 \\ x_4 &= A_3 - x_3 = A_3 - A_2 + A_1 - x_1 \\ &\cdots \\ x_N &= A_{N-1} - x_{N-1} = A_{N-1} - A_{N-2} + A_{N-3} - A_{N-4} + \cdots - A_1 + x_1 \\ x_1 &= A_N - x_N = A_N - A_{N+1} + A_{N-2} - A_{N-3} + A_{N-4} - \cdots + A_1 - x_1 \end{align}\]

となる. 最後の式から,

\[x_1 = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^N (-1)^{i+1} A_i\]

となる. あとは芋蔓式に \(x_2, x_3, \dots\) を求めていく.