青のボールが連続した部分を \(i\) 個用意する組み合わせの数を数える.

そのためには, 青のボールの間 \(K-1\) のうち, \(i-1\) 個を選び出し, そこに1つ以上の赤いボールを入れることになる. よって, \(i-1 \gt N-K\) の場合はそのような組み合わせの数は \(0\) となる.

そうでない場合, \(i-1\) 個の間を選び出す組み合わせは \({}_{K-1}C_{i-1}\) である.

まずはこの \(i-1\) 個に \(1\) ずつ赤いボールを入れてしまう. 残りの \(N-K-(i-1)\) 個の赤いボールを先程選んだ \(i-1\) 個の間と両端に分配する. これは重複組み合わせの数なので, \({}_{i+1}H_{N-K-(i-1)}\) である.

よって, \({}_{K-1}C_{i-1} \cdot {}_{i+1}H_{N-K-(i-1)}\) が答えとなる.

階乗と逆元はあらかじめ計算しておく.