No.620

平面を複素平面で表してみる. そうすると, 元の計算式は次のようになる.

$$z_{t+1} = ((1+v) + \omega i)z_t + u_t$$

$c = ((1+v) + \omega i)$ とおくと, 時刻 $T$ の位置は,

$$z_T = c^T + c^{T-1}u_0 + c^{T-2}u_1 + \dots + u_{T-1}$$

となる. 時刻 $T$ で $g_x + g_yi$ にいればいいので, $a_t = c^{T-1-t}$, $b = (g_x + g_yi) - c^T$ とおくと,

$$a_0u_0 + a_1u_1 + \dots + a_{T-1}u_{T-1} = b$$

となる.

ここで, $a = (a_0, a_1, \dots, a_{T-1}), u = (u_0, u_1, \dots, u_{T-1})^T$ とおくと,

$au = b$ のもとで $\| u \|^2$ を最小化する

という問題となる. ただし, ノルムはL2ノルムである.

これは, $a$ の一般逆行列 $a^{\dagger}$ を求めると,

$$u = a^{\dagger} b$$

となる. ベクトルの一般逆行列は,

$$a^{\dagger} = \frac{1}{\| a \|^2} a^{*}$$

で表せる. ただし, $a^{*}$ は $a$ の随伴行列 (転置して複素共役を取ったもの) である. したがって,

$$u = \frac{b}{\| a \|^2} a^{*}$$

となる. 原点から平面に下ろした垂線の足というイメージを複素空間に拡張した感じかな.