No.605

球全体の表面積を積分で求めると,

$$S_{all} = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} 2\pi \cos \theta d\theta$$

となる. 平面に挟まれた部分の表面積は

$$\begin{align} S &= \int_{\theta_a}^{\theta_b} 2\pi \cos \theta d\theta \\ &= 2\pi [\sin \theta]_{\theta_a}^{\theta_b} \\ &= 2\pi (\sin \theta_b - \sin \theta_a) \end{align}$$

となる. ここで, $\sin \theta_a = a, \sin \theta_b = b$ であるので,

$$S = 2\pi (b - a)$$

が答えとなる.