No.532

まずは $M = 0$ から考える.

$N \geq 3$ のときは, $(3-2-1) \times 4 \times 5 \times \cdots$ とすればいいので Possible.

$N=1,2$ のときはどうやっても無理なので Impossible.

次に $M \geq 1$ を考える.

$N-M$ が偶数のときは $M$ より大きい数を2つずつ隣同士で組み合わせて大きい方から小さい方を引けば $1$ が複数個できる. $M$ 未満についても同様に $1$ が複数個作れる. ($M$ が偶数のときは最初の $1$ を独立させればいい) よって, $1 \times 1 \times \cdots \times M \times 1 \times 1 \times \cdots$ とすれば $M$ が作れるので Possible.

$N-M$ が奇数のときは $M-1$ は作れるので, 上記の掛け算を1つだけ + に変えてあげれば $M$ が作れる. よって Possible.

結論としては, $M=0, N=1,2$ のときだけが Impossible である.