No.454

$N$ の直前まで加算した値 $A_N$ と真の値 $A$ との誤差は,

$$A - A_N = \sum_{n=N}^{\infty} \frac{1}{(x+n)^2}$$

となる. $1/(x+n)^2$ は単調減少関数なので,

$$\sum_{n=N}^{\infty} \frac{1}{(x+n)^2} \gt \int_{N}^{\infty} \frac{1}{(x+n)^2} dn = \frac{1}{x+N} \\ \sum_{n=N}^{\infty} \frac{1}{(x+n)^2} \lt \int_{N}^{\infty} \frac{1}{(x+n-1)^2} dn = \frac{1}{x+N-1}$$

となる. すなわち誤差はほぼ $1/(x+N)$ であり, $10^{-9}$ 以下の誤差にするためには $N$ はおおよそ $10^9$ 以上が必要で, これだと間に合わない.

そこで, $1/(x+N)$ を足した値の誤差を考えると,

$$\sum_{n=N}^{\infty} \frac{1}{(x+n)^2} - \frac{1}{x+N} \lt \frac{1}{x+N-1} - \frac{1}{x+N} = \frac{1}{(x+N-1)(x+N)}$$

となり, これは誤差が $N^2$ のオーダーで効いてくるので, $N$ が $10^5$ 程度でも大丈夫である.