No.443

まず, すべて同じ数字で成り立っているならば $N$ 自身が答えとなる.

$a \neq b$ である数字があり, $xxxxxxab$ から $xxxxxxba$ のように入れ替えるとする. このとき, その差は $9 \vert a-b \vert$ となり, $xxxxxxab$, $xxxxxxba$ の最大公約数は $9 \vert a-b \vert$ の約数となる.

同様に $xxaxbxx$ から $xxbxaxx$ のように入れ替えたときのこの2つの差は $(10^i - 10^j) \vert a-b \vert$ となり, これも $9 \vert a-b \vert$ の倍数である.

すべての置換は上記2種類の互換の積であるので, その最大公約数は, すべての $a, b$ について $9 \vert a-b \vert$ の最大公約数を求め, 最後にこれと $N$ との最大公約数となる.

$a, b$ は $0$ から $9$ のどれかなので出現数字をチェックしておけばいい.

最後の $N$ との最大公約数は, $9 \vert a-b \vert$ の最大値が $81$ なので, $1$ から $81$ までのすべての数字で割り切れるかどうかを調べればいい.