No.328

1つ目の式から

$$p_2 = c_1 - p_1$$

となるので, これを残りの3式に代入して,

$$c_2 = p_1z_1 + (c_1 - p_1)z_2 \\ c_3 = p_1z_1^2 + (c_1 - p_1)z_2^2 \\ c_4 = p_1z_1^3 + (c_1 - p_1)z_2^3$$

となる. これの1つ目の式から

$$p_1 = \frac{c_2 - c_1z_2}{z_1 - z_2} \\ c_1 - p_1 = \frac{c_1z_1 - c_2}{z_1 - z_2}$$

となるので, これを残りの2式に代入して,

$$c_3 = \frac{c_2 - c_1z_2}{z_1 - z_2}z_1^2 + \frac{c_1z_1 - c_2}{z_1 - z_2}z_2^2 \\ c_4 = \frac{c_2 - c_1z_2}{z_1 - z_2}z_1^3 + \frac{c_1z_1 - c_2}{z_1 - z_2}z_2^3$$

となる. これを整理すると,

$$c_2(z_1^2 - z_2^2) - c_1z_1z_2(z_1 - z_2) - c_3(z_1 - z_2) = 0 \\ c_2(z_1^3 - z_2^3) - c_1z_1z_2(z_1^2 - z_2^2) - c_4(z_1 - z_2) = 0$$

となり, 2式の両辺を $z_1 - z_2$ で割ると,

$$c_2(z_1 + z_2) - c_1z_1z_2 - c_3 = 0 \\ c_2(z_1^2 + z_1z_2 + z_2^2) - c_1z_1z_2(z_1 + z_2) - c_4 = 0$$

となる. これの1つ目の式に $z_1 + z_2$ をかけて2つ目の式を引くと,

$$c_2(z_1 + z_2) - c_1z_1z_2 - c_3 = 0 \\ c_3(z_1 + z_2) - c_2z_1z_2 - c_4 = 0$$

となる. ここで,

$$z_1 + z_2 = a \\ z_1z_2 = b$$

とおくと,

$$c_2a - c_1b - c_3 = 0 \\ c_3a - c_2b - c_4 = 0$$

となり, これを解いて

$$a = \frac{c_2c_3 - c_1c_4}{c_2^2 - c_1c_3} \\ b = \frac{c_3^2 - c_2c_4}{c_2^2 - c_1c_3}$$

となる. このときに $z_1, z_2$ が異なる実数になるということは,

$$x^2 - ax + b = 0$$

の $x$ が異なる2実数解を持つことと同じである. 判別式 $D$ は,

$$\begin{align} D &= a^2 - 4b \\ &= \frac{(c_2c_3 - c_1c_4)^2 - 4(c_3^2 - c_2c_4)(c_2^2 - c_1c_3)}{(c_2^2 - c_1c_3)^2} \end{align}$$

となるので, この分子が正になればいい.