No.229

$P_1$ と $P_2$ が同じ向きで出会うときは, $P_1$ と $P_2$ の動いた距離の差が $2kL$ となるので, 出会う時刻は

$$\begin{align} t_1 &= \frac{2kL}{\frac{2L}{T_1} - \frac{2L}{T_2}} \\ &= \frac{2kT_1T_2}{T_2 - T_2} \end{align}$$

となり, $P_1$ と $P_2$ が逆向きで出会うときは, $P_1$ と $P_2$ の動いた距離の和が $2kL$ となるので, 出会う時刻は

$$\begin{align} t_2 &= \frac{2kL}{\frac{2L}{T_1} + \frac{2L}{T_2}} \\ &= \frac{2kT_1T_2}{T_2 + T_1} \end{align}$$

となる.

あとは $P_1, P_2, P_3$ のうちの2点が同じ向きか逆向きのどちらで出会うかを全探索し, $(P_1, P_2), (P_2, P_3), (P_3, P_1)$ が出会う時刻の最小公倍数を求めてその最小値を取ればいい.

なお, 分数の最小公倍数は, 通分して分子の最小公倍数を計算する.