No.223

まず, Wikipedia の4の倍数×4の倍数の魔方陣の作り方を参考に $N \times N$ の魔法陣を作る. ただし, 0 から $N^2-1$ の数字を使う.

魔法陣の各数を2進数で表し, 各行/各列/斜めのビットごとの和を計算すると, $N = 4$ のときはすべて $2222$ になり, $N = 8$ のときは $444444$ となり, $N = 16$ のときは $88888888$ となることが確認できる. すなわち, 各行/各列/斜めのすべての桁にはすべて同じ数の 0 と 1 が含まれていることになる.

したがって, すべての魔法陣のすべてのマスに適当な数の XOR 操作を施した後でも, 各行/各列/斜めのすべての桁の 0 と 1 の数は変わらないので和も変わらない.

よって, 指定されたマスが指定の数になるように XOR をすべてのマスに施してあげればいい. 最後にすべてのマスに1を足したものが答えとなる.