No.132

3点 $A,B,C$ を通る平面を求めるには, まずその平面の法線ベクトル $\vec{n} = (p, q, r)$ を求める. これは $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$ で求められる.

このとき, $A = (x_0, y_0, z_0)$ とすると, 平面の方程式は以下の通りとなる.

$$p(x-x_0) + q(y-y_0) + r(z-z_0) = 0$$

平面 $ax+by+c+d=0$ と点 $P(x_p, y_p, z_p)$ の距離 $d$ は, 点と平面の距離の公式より,

$$d = \frac{|ax_p + by_p + cz_p + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$$

となる. あとは $A,B,C$ の組み合わせをすべて数え上げて足す.