No.125

花びらの合計枚数を $T$ とする.

花びらを $k$ 個時計回りに回転させてもピッタリ元の模様と重なりあう状態を周期 $k$ と表現する.

周期が $k$ になるためには, $k$ は $T$ の約数であり, かつ $T/k$ は $C_i$ の約数である必要がある. すなわち, $\{ C_i \}$ の最大公約数を $g$ とすると, $T/k$ は $g$ の約数でなければならない.

ここで, $m = T/k$ とする.

周期が $k = T/m$ となる模様の組み合わせの数を $A(k)$ とすると,

$$A(k) = \frac{k!}{C^{\prime}_1! C^{\prime}_2! \cdots C^{\prime}_K!}$$

s.t.

$$C^{\prime}_i = C_i / m$$

となる. ただし, $A(k)$ は $k$ の約数の周期の数も含むので, ここから $\sum_{j \in S} A(j)$ ($S$ は $k$ を含まない $k$ の約数の集合) を引く.

さて問題では $A(k)$ を $i$ 個 ($i \lt m$) 回転させてもそれは元の状態と同じなので, これは数えない. よって, $A(k) / m$ をすべて足したものが答えとなる.