No.55

$P_1(X1, Y1), P_2(X2, Y2), P_3(X3, Y3)$ とする.

$P_1,P_2,P_3$ の順序を入れ替えて, すべての入れ替えパターンで正方形が1つでもできるかどうかを調べる.

$\vec{v_1}=\overrightarrow{P_1P_2}, \vec{v_2}=\overrightarrow{P_2P_3}$ とすると, 正方形ができるためには次の条件が成り立つ必要がある.

$$|\vec{v_1}| = |\vec{v_2}|$$ $$\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = 0$$

このとき, $P_1, P_4$ の位置ベクトルを $\vec{p_1}, \vec{p_4}$ とすると,

$$\vec{p_4} = \vec{p_1} + \vec{v_2}$$

となる.