No.53

漸化式の特性方程式を解いて,

$$\begin{align*} A_k - 4A_{k-1} &= \frac{3}{4}\left(A_{k-1} - 4A_{k-2}\right) \\ A_k - \frac{3}{4}A_{k-1} &= 4\left(A_{k-1} - \frac{3}{4}A_{k-2}\right) \end{align*}$$

より,

$$\begin{align*} A_k - 4A_{k-1} &= -13\left(\frac{3}{4}\right)^{k-1} \\ A_k - \frac{3}{4}A_{k-1} &= 0 \end{align*}$$

となるので,

$$\frac{13}{4}A_{k-1} = 13\left(\frac{3}{4}\right)^{k-1} \\ A_k = 4\left(\frac{3}{4}\right)^k$$

となる.