No.034 D

高橋くんが $x$ 枚の赤いカードを引くとして, それらを $a_1, a_2, \dots, a_x$ とする. そして, $a_i$ 枚の後に青いカードを $y_i$ 枚引くとすると, 得点は,

$$a_1 \prod^{y_1} b_i + a_2 \prod^{y_2} b_i + \dots + a_x \prod^{y_n} b_i$$

となる. 期待値を計算するときは赤いカードの順序を入れ替えながら平均を求めることになるので, $a_i$ は $\{ a_i \}$ の平均としても計算結果は変わらない. この $\{ a_i \}$ の平均を $a$ とする.

次に $\prod b_i$ の部分であるが, これも期待値を求める際には青いカードの順序を入れ替えながら平均を求めることになる.　$y$ 枚の青いカードの積の平均は, $y$ 枚の青いカードを取ったときの積の総和を $y$ の青いカードを取る組み合わせの数で割ったものとなる.

$i$ 番目のカードまで見たときに $j$ 枚取ったときの積の総和を $S(i, j)$ とすると,

$$S(i, j) = S(i-1, j) + b_i S(i-1, j-1)$$

となり, $y$ 枚取ったときの積の平均 $V(y)$ は,

$$V(y) = \frac{S(B, y)}{ {}_BC_y }$$

で求められる. これはあらかじめ計算しておく.

最後に残り青いカードが $i$ 枚で赤いカードが $j$ 枚のときの得点の期待値を $E(i, j)$ とすると,

$$E(i, j) = (E(i-1, j) + aV(b-j))\frac{i}{i+j+C} + E(i, j-1)\frac{j}{i+j+C}$$

となる.