No.029 B

左下を原点, 右上を $(A, B)$ となるように配置し, 反時計周りに角度 $\theta$ ($0 \leq \theta \leq \pi/2$) だけ回転させたとする.

このときの幅 $w$ と高さは $h$ は以下の通りである.

$$\begin{align} w &= A\cos\theta + B\sin\theta \\ h &= \sqrt{A^2+B^2}\sin(\theta + \alpha) \end{align}$$

ただし,

$$\tan\alpha = \frac{B}{A}$$

である.

$w$ を加法定理を使ってまとめると,

$$w = \sqrt{A^2+B^2} \sin(\theta + \beta)$$

となる. ただし,

$$\tan\beta = \frac{A}{B}$$

である.

$w \leq C$ かつ $h \leq D$ となる $\theta$ が存在するならノートを収めることができる. 逆に考えると, $w \gt C$ または $h \gt d$ ならばノートを収めることができない.

ノートを収めることができない $\theta$ の範囲が $0 \leq \theta \leq \pi/2$ をすべて覆っているならば, この箱にノートを収めることができる角度がないことになる.

まずは $c = C/\sqrt{A^2+B^2}$ とすると,

$c \geq 1$ のとき: $\theta$ 存在しない

$c \lt 1$ のとき: $\sin^{-1}c - \beta \leq \theta \leq \pi - \sin^{-1}c - \beta$

同様に $d = D/sqrt{A^2+B^2}$ とすると,

$d \geq 1$ のとき: $\theta$ は存在しない

$d \lt 1$ のとき: $\sin^{-1}d - \alpha \leq \theta \leq \pi - \sin^{-1}d - \alpha$

よって, ノートを収める角度がある条件は,

• $$\min(\sin^{-1}c - \beta, \sin^{-1}d - \alpha) \leq 0$$
• $$\max(\pi - \sin^{-1}c - \beta, \pi - \sin^{-1}d - \alpha) \leq \pi/2$$
• $$\pi - \sin^{-1}c - \beta \leq \sin^{-1}d - \alpha$$
• $$\pi - \sin^{-1}d - \alpha \leq \sin^{-1}c - \beta$$

のいずれかが成り立つことである.