No.050 C

$N$ が奇数のときは, $A_i$ は必ず偶数となる. $A_i = N-1$ ならば $1$ 番目か $N$ 番目であり, $A_i = N-3$ なら $2$ 番目か $N-1$ 番目であり, $A_i = 0$ ならば $\lceil N/2 \rceil$ 番目である.

よって, $A_i$ が $N-1$ となる $i$ は2人いなければならず, 同様に $N-3, N-5, \dots$ も同様である. ただし, $A_i = 0$ となる $i$ は1人しかいてはならない.

このときの組み合わせの数は $2^{\lfloor N/2 \rfloor}$ である.

$N$ が偶数のときも同様に計算する.