No.024 D

$(r, c)$ のマスに書かれているのは ${}_{r+c}C_r$ である. ここで,

$$\begin{align} \frac{B}{A} &= \frac{ {}_{r+(c+1)}C_r }{ {}_{r+c}C_r } = \frac{(r+c+1)!}{r!(c+1)!} \cdot \frac{r!c!}{(r+c)!} = \frac{r+c+1}{c+1} \\ \frac{C}{A} &= \frac{ {}_{(r+1)+c}C_{r+1} }{ {}_{r+c}C_r } = \frac{(r+c+1)!}{(r+1)!c!} \cdot \frac{r!c!}{(r+c)!} = \frac{r+c+1}{r+1} \end{align}$$

となる. これを整理して

$$\begin{align} Ar+(A-B)c+A-B &= 0 \\ (A-C)r+Ac+A-C &= 0 \end{align}$$

となり, これを解いて,

$$\begin{align} c &= \frac{B(A-C)}{BC-(B+C)A} \\ r &= \frac{C(A-B)}{BC-(B+C)A} \end{align}$$

となる. なお計算は法を $10^9+7$ とする剰余環上で行う. すなわち, 割り算は逆元を使う.