No.004 D

同じ色のマーブルは連続的に広がった方が明らかに移動回数は少ない.

緑のマーブルが区間 $[x, x + G - 1]$ に広がっているとする.

このときの赤のマーブルについては, $-100$ を中心に左右対称に広げることができれば, それが最小移動回数となる. このときの赤のマーブルは区間 $[-100-R/2, -100+(R-1)/2]$ に広がる. これが可能なのは, $x \lt -100+(R-1)/2$ のときである.

そうでないときは, 緑のマーブルの左端の左側に赤のマーブルが来るように並べればそれが最小移動回数となる. このとき, 赤のマーブルは区間 $[x-R, x-1]$ に広がる.

青のマーブルについても赤のマーブルと同様に考える.

移動回数の計算は場合分けをする. たとえば緑のマーブルを区間 $[x, x+G-1]$ に広げる場合は以下のとおりになる.

• $x+G-1 \lt 0$ ならば移動回数は $-(x+G-1)G+G(G-1)/2$ である.
• $x \gt 0$ ならば移動回数は $xG+G(G-1)/2$ である.
• そうでないならば移動回数は $-x(-x+1)/2+(x+G-1)(x+G)/2$ である.

いずれも $\sum_{k=1}^n k=n(n+1)/2$ からすぐに求まる.

$x$ の範囲であるが, 最小は緑のマーブルの右端が $0$ の場合と青のマーブルの右端が $100$ の場合とでより左側に広がる場合である. すなわち, $\min(-G+1, 100-R-B+1)$ となる. 最大も同様に $\max(G-1, -100+R+G-1)-G+1$ となる.